Calculando Pi con gotas de agua

Existe un modo curioso de calcular el valor aproximado de π, ideal para tardes lluviosas y aburridas. Para ello, debemos dibujar un cuadrilátero, y dentro de él un círculo, de la siguiente manera:

 Una vez dibujado, por ejemplo, en una cartulina, lo colocamos bajo la lluvia de modo que le caiga una buena cantidad de gotas. Como hoy hace un día soleado, simularemos las gotas con ayuda del ordenador, obteniendo algo así:

Como las gotas de lluvia se reparten al azar sobre la superficie de la cartulina, es de esperar que la probabilidad de que una gota caiga dentro del círculo sea proporcional al área del mismo, y que la probabilidad de que caiga en la cartulina sea, también, proporcional al área del a cartulina. Es decir:

Recordando las fórmulas del área del círculo y del cuadrilátero, tenemos:

Y por último, podemos despejar π como:

En el dibujo anterior, han caído 2000 gotas sobre la cartulina, de las cuales 1565 están dentro del círculo. Tenemos pues:

En la siguiente gráfica podemos ver cómo el valor aproximado de Pi, calculado de éste modo, se aproxima al valor real cuando el número de gotas se hace grande:

Éste tipo de métodos se utilizan muy a menudo en cálculo numérico, pero en lugar de incómodas gotas de lluvia se usan puntos al azar generados por un ordenador.  Se conocen como métodos de Montecarlo, en honor a sus famosos casinos (por aquello del azar).
Como al ordenador no le da pereza ponerse a contar puntitos, voy a pedirle que simule la friolera de 100000 gotitas. El resultado obtenido en un caso como ese es:

Que es evidentemente una mucho mejor aproximación.